Родился 21 августа 1962 года в г. Ханты-Мансийск. После окончания средней школы поступил в Тюменское высшее военно-инженерное ордена Кутузова командное училище им. маршала инженерных войск Прошлякова. После окончания лейтенант Мешков был направлен для прохождения службы в Забайкальский военный округ.
В Республику Афганистан прибыл 13 января 1985 года. Инженерно-саперная рота 122 мотострелкового полка (в/ч пп 65753) 201 мотострелковой дивизии располагалась в районе города Ташкургана (административного центра уезда Хульм провинции Балх). Андрей Борисович был командиром взвода спецминирования.
Со своим подразделением принимал участие в воинских операциях, рейдах, засадах. Действовал преимущественно с разведывательной ротой полка: минировал караванные тропы боевиков, подходы к периметру советского гарнизона в Ташкургане.
В ходе очередной Ташкурганской операции 20 апреля 1985 года, во время разминирования моста Андрей Борисович получил ранение бедра при обстреле со стороны мятежников. Лечение в госпитале продлилось 2 месяца. После прохождения лечения в госпитале — снова в строю. Продолжил службу в той же роте.
География военной службы офицера Мешкова А.Б. обширна: центральная группа войск (Чехословакия), затем — Прибалтийский военный округ, поселок Елань Свердловской области, Тюменская область (инженерная база на оз. Андреевском). Проше путь от командира взвода до заместителя командира полка. Был военным комиссаром Калининского и Центрального административных округов города Тюмени. Полковник запаса.После увольнения со службы Андрей Борисович пришел работать в Детский морской центр "Алый парус" города Тюмени. Он является начальником учебно-методического центра «Авангард» города Тюмени и начальником штаба муниципального отделения Всероссийского военно-патриотического детско-юношеского общественного движения «Юнармия» города Тюмени.
Андрей Борисович руководит проведением учебных сборов по основам военной службы для старшеклассников, является организатором военно-патриотических мероприятий, в летний период - профильной площадки оборонно-спортивного лагеря "Ратники" для детей и подростков.Он стал настоящим наставником для воспитанников и педагогов, передавая свой опыт, знания и мудрость молодому поколению и поддерживая коллег и друзей центра.
- медаль "За отвагу"
- медаль "За отличие в воинской службе" 1 степени
- медаль «От благодарного Афганского народа»
- знак "Воину-интернационалисту»